Matrix multiplication chains two linear maps into one. The tool shows the arithmetic — each output cell is a row times a column. The deeper story: a matrix is a linear transformation, and multiplying matrices is doing one transformation after another.
Where you meet it
- Neural networks — every layer is a matrix multiply
y = W·x + b. - Graphics — rotating, scaling, and projecting 3D scenes.
- Solving linear systems, Markov chains, PageRank, least squares.
What it does
It composes maps. If B sends an input vector somewhere and A then moves that result, the single matrix A·B does both steps at once: (A·B)x = A(Bx). The product is the composition — that is why order runs right to left.
A matrix is a transformation, and multiplying them is doing one after another — which is why A·B ≠ B·A.
How it works
Each entry is the dot product of row i of A with column j of B:
(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ · Bₖⱼ sum over the shared index kThe dimension rule: an m×n times an n×p gives an m×p. The inner dimensions must match — they are the k you sum over; the outer ones become the result shape.
A = [[1, 2, 3], B = [[7, 8],
[4, 5, 6]] [9, 10],
(2×3) [11,12]] (3×2)
(AB)₀₀ = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 58 → A·B is 2×2The transformation view: column j of A·B is just A applied to column j of B. To build the product, run A on each column of B in turn.
Watch out
- Not commutative.
A·B ≠ B·Ain general — composing maps in the other order lands somewhere else, and may not even be legal. - Inner dimensions must match.
(m×n)·(n×p)works; mismatch is an error, not a silent broadcast. - Not the elementwise product.
A·B(matmul, NumPy@) is the dot-product rule;A*B(Hadamard, NumPy*) multiplies cell by cell and needs equal shapes. - It is associative:
(AB)C = A(BC)— so long chains of transforms collapse into one matrix.
Go deeper
Matrixmultiplikation verkettet zwei lineare Abbildungen zu einer. Das Tool zeigt die Arithmetik — jede Ergebniszelle ist Zeile mal Spalte. Die tiefere Geschichte: Eine Matrix ist eine lineare Abbildung, und Matrizen multiplizieren heißt, eine Abbildung nach der anderen auszuführen.
Wo es vorkommt
- Neuronale Netze — jede Schicht ist eine Matrixmultiplikation
y = W·x + b. - Grafik — Rotieren, Skalieren und Projizieren von 3D-Szenen.
- Lineare Gleichungssysteme, Markow-Ketten, PageRank, kleinste Quadrate.
Was es tut
Es komponiert Abbildungen. Schickt B einen Eingabevektor irgendwohin und verschiebt A dann das Ergebnis, so macht die eine Matrix A·B beide Schritte auf einmal: (A·B)x = A(Bx). Das Produkt ist die Hintereinanderausführung — darum läuft die Reihenfolge von rechts nach links.
Eine Matrix ist eine Abbildung, und sie zu multiplizieren heißt, eine nach der anderen auszuführen — darum gilt A·B ≠ B·A.
Wie es funktioniert
Jeder Eintrag ist das Skalarprodukt von Zeile i aus A mit Spalte j aus B:
(AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ · Bₖⱼ Summe über den geteilten Index kDie Dimensionsregel: m×n mal n×p ergibt m×p. Die inneren Dimensionen müssen passen — sie sind das k, über das summiert wird; die äußeren ergeben die Form des Resultats.
A = [[1, 2, 3], B = [[7, 8],
[4, 5, 6]] [9, 10],
(2×3) [11,12]] (3×2)
(AB)₀₀ = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 58 → A·B ist 2×2Die Abbildungs-Sicht: Spalte j von A·B ist einfach A angewandt auf Spalte j von B. Um das Produkt zu bauen, wendet man A nacheinander auf jede Spalte von B an.
Worauf achten
- Nicht kommutativ.
A·B ≠ B·Aim Allgemeinen — die Abbildungen in der anderen Reihenfolge zu verketten landet woanders und ist oft gar nicht erlaubt. - Innere Dimensionen müssen passen.
(m×n)·(n×p)geht; ein Mismatch ist ein Fehler, kein stilles Broadcasting. - Nicht das elementweise Produkt.
A·B(matmul, NumPy@) ist die Skalarprodukt-Regel;A*B(Hadamard, NumPy*) multipliziert Zelle für Zelle und braucht gleiche Formen. - Es ist assoziativ:
(AB)C = A(BC)— lange Ketten von Abbildungen fallen so zu einer Matrix zusammen.